수학에 대한 새로운 느낌의 시작!
아하! 물리수학의 최신판!

『아하! 물리수학』은 모든 학문의 여왕이라고 일컬어지는 수학의 방대한 지식 중 공학이나 물리학에서 이용되는 부분만을 모아, 이공계 학생들이 좀 더 쉽고 효율적으로 수학을 공부할 수 있도록 구성하였다. 순수 수학의 수학적 증명 같은 것은 배제하고 수학의 장점만을 취하여, 공학이나 물리학 분야에서 수학이 어떻게 유용하게 활용되는지를 중점적으로 다루었다. 또한, 복잡하고 난해해 보이는 많은 공식과 이론들이 어떤 목적으로 만들어졌으며 어떻게 활용되는지 그 원리와 본질을 근본적으로 이해함으로써 능동적으로 지식을 탐구하는 동기를 부여하였다.

머리말
감역자의 글
이 책의 구성

◈ 서장 - 물리수학을 쓸모있는 도구로 만들자!

제1장 미분ㆍ적분부터 시작!
1-1 미분이란 무엇이던가?
1-2 편미분이란 무엇인가?
1-3 적분과 넓이 요소

제2장 선형대수 입문
2-1 좌표를 변환한다
2-2 행렬의 연산
2-3 n차원의 역행렬
2-4 행렬식의 성질
2-5 벡터의 기초

제3장 테일러의 전개와 미분방정식
3-1 다중적분
3-2 테일러의 공식
3-3 미분방정식
3-4 단진자

제4장 벡터 해석
4-1 grad, div, rot란 무엇인가?
4-2 가우스(Gauss)의 정리
4-3 스토크스(Stokes)의 정리
4-4 연속 방정식

제5장 복소함수론 입문
5-1 복소함수에서의 미분
5-2 복소함수에서의 적분
5-3 유수
5-4 실적분에의 복소적분 응용

제6장 특수함수
6-1 감마함수
6-2 타원적분과 타원함수

제7장 해석역학
7-1 최속강하선(brachistochrone) 문제
7-2 오일러 방정식
7-3 해석역학의 필요성
7-4 해밀턴 방정식

제8장 벡터 공간
8-1 벡터 공간의 연산
8-2 벡터 변환의 연산
8-3 힐베르트(Hilbert) 공간

제9장 푸리에 급수와 푸리에 변환
9-1 푸리에 급수에 의한 전개
9-2 푸리에 변환

제10장 맥스웰-볼츠만 분포
10-1 맥스웰-볼츠만 분포
10-2 상공간의 도입
10-3 분자 한 개당 평균 에너지를 구한다
10-4 맥스웰-볼츠만의 속도분포 법칙의 도출

◈ 부록

Ken Kazuishi

물리수학을 쓸모 있는 도구로 만들자!
수학에 대한 새로운 느낌의 시작!

수학의 지식 가운데 공학이나 물리학에서 자주 이용하는 부분을 지칭하는 물리수학은 공학 계열이나 물리학 계열의 학생이면 반드시 이수해야 하는 중요한 과목입니다. 공학이나 물리학 계열의 전공자가 수학에 대해 잘 모른다는 것은 소설가가 되려는 사람이 글을 제대로 모르는 것과 같다고 비유할 수 있습니다. 즉, 수학은 물리학을 표현하는 기본 언어라 할 수 있으며, 물리나 공학을 이해하고 활용하려면 수학의 일부를 편한 도구처럼 자유자재로 쓸 수 있어야 합니다.

세계적인 물리학자 아인슈타인도 상대성 이론을 확립할 때 리만 공간론을 열심히 공부했다고 합니다. 아인슈타인 같은 천재를 예로 들지 않아도 공학이나 물리학을 연구하는 사람 중에는 높은 수학 실력을 지닌 사람이 꽤 많은데, 그것은 물리학이나 이공계 학문의 연구에 수학이 매우 중요한 도구로 비중 있게 사용되고 있기 때문입니다.

이 책의 특징이라면 다소 어렵고 딱딱한 주제의 내용을 재미있고 친근감이 느껴지는 문체로 이해하기 쉽게 풀어나갔다는 것이며, 고등학교를 졸업하고 이공계 학과에 진학한 후 갑자기 어려워진 수학에 당혹스럽고 갈피를 잡지 못하는 많은 학생들에게 희망을 제시해 줄 수 있는 책이 될 것입니다.

▷ 재미있는 물리수학책!
수학이라는 말만 들어도 머리가 아픕니다. 그런데 거기에 물리까지!! 이것은 희망을 주는 것이 아닌 고통을 주는 책일 것입니다. 하지만 지금부터는 그러한 생각들은 다 접어두고 아하! 물리수학으로 첫 장을 시작해 보세요. 고통은 재미로, 머리에는 지식이 쌓일 것입니다. 까다롭고 어려운 부분도 특유의 유머 감각과 재치를 발휘해 가면서 물리수학을 재미있게 풀어내고 있습니다.

▷ 장별로 미리 보기!
각 장을 세분화하여 구성하였으며, 각 장에 들어가긴 전 워밍업으로 어떠한 내용을 다루는지 미리 살펴볼 수 있도록 하였습니다. 시작이 반이다. 미리 단원의 전체적인 흐름을 파악한다면 그것은 이미 절반은 시작한 것입니다. 이제 본격적인 물리수학 내용은 책 안에서 찾으시길 바랍니다.

▷ 기본, 응용 두 마리 토끼 잡기!
난도 높은 문제를 내세우기보단 쉽게 이해할 수 있도록 개념 위주로 구성하였습니다. 물리수학이라고 하더라도 출발점은 똑같을 것입니다. 물리수학과 연관된 수학의 개념 위주로 설명하여 기본기를 닦을 수 있도록 하였고 문제의 적용력과 응용력도 높여 주었습니다.

[ 각 장별 주요 내용]

제1장 미분·적분부터 시작
이 장에서는 미·적분부터 도전합니다. 이공계 학생이면 미적분에 어느 정도 친숙해 있겠지만 대학의 미적분은 고등학교에서 공부하던 미적분과는 완전히 다르다고 느껴질 정도로 갑자기 어려워집니다. 범위도 넓어지고 수학적 엄밀성도 추구합니다. 하지만 여유를 갖고 하나하나 의문점을 해결하면서 요령을 파악해 나가면 다 해결해 나갈 수 있습니다.

제2장 선형대수 입문
선형대수는 대학에 들어오기 전에 행렬이라는 형태로 이미 맛을 보았을 겁니다. 이 장을 공부하고 나면 아! 그렇게 기묘하게 연산이 되는 거구나. 하는 느낌을 가지게 될 것입니다. 물론 이 분야도 수학의 한 분야를 형성하고 있으므로 본격적으로 학습하려면 나름의 노력이 필요합니다. 하지만 이 선형대수 개념을 충분히 이해하고 다른 분야에 활용하면 최소의 노력으로 최대의 결과를 얻을 수 있는 매력적인 효용이 있습니다. 아주 어렵지는 않으므로 꼭 마스터하고 넘어갑니다.

제3장 테일러의 전개와 미분방정식
어떤 함수를 급수의 형태로 표현할 수 있다는 놀라운 사실은 테일러와 마크 로린의 커다란 공적입니다. 이처럼 급수로 표현할 수 있게 되면 자유로운 근사치 계산이 가능해집니다. 또한 함수를 급수로 전개할 수 있다면 그 함수 자체를 다른 각도에서 다시 바라볼 수 있게 됩니다. 여기서는 테일러의 전개를 상세하게 설명하고 있습니다. 그리고 미적분의 총정리로서 미분방정식의 구체적인 예도 들고 있습니다.

제4장 벡터 해석
고등학교에서 벡터는 방향과 크기를 가진 선분이라는 정도만을 배웠을 겁니다. 그 때문에 역학에 이용하고 있다는 것은 알지만 그 이상의 역할에 대해서는 의문을 가졌을 것입니다. 그랬던 벡터가 함수로서 다뤄짐으로써 엄청나게 유용한 도구가 됩니다. 그 유효 범위는 매우 다양해서 역학, 전자기학 등에 그치지 않고 공학에서도 없어서는 안 될 필수 도구로 사용됩니다. 여기서는 이 멋진 도구를 내 손아귀에 넣고 마음대로 쓸 수 있도록 각 요소를 하나하나 마스터해 갑니다.

제5장 복소함수론 입문
복소수도 고등학교에서 배웠지만 그다지 흥미를 느낄 수 있는 분야는 아니었을 것입니다. 복소수 그 자체에 대한 이야기만으론 가르치는 교사나 배우는 학생이나 어떤 흥미나 의미를 찾기 힘듭니다. 그러나 아직 포기하기에는 아까운 분야입니다. 왜냐하면 복소수를 함수로 생각하게 되면 실수 공간에서 생각할 수 없는 아주 재미있고 유용한 현상이 일어나기 때문입니다. 여기서는 물리학의 여러 분야에서 대활약을 하는 복소수에 대해 알아봅니다. 복소수에 대한 새로운 느낌과 재미에 푹 빠지게 될 것입니다.

제6장 특수함수
특수함수가 생겨난 배경 가운데 하나는 간단해 보이는 적분이 좀처럼 풀리지 않아 우선 어떤 함수로 치환하고 나서, 나중에 그 함수의 성질을 조사하여 간접적으로 적분을 푼 것처럼 하려는 의도가 아니었을까 짐작됩니다. 어쨌든 적분이 곤란한 경우에는 특수함수의 힘을 빌리지 않으면 안 되므로 여기에서는 그 테크닉을 익힐 수 있도록 합니다. 타원함수, 감마함수 등 물리에서 친숙한 대표적인 특수함수를 예로 들었습니다.

제7장 해석역학
뉴턴의 역학법칙은 심플하고 이해하기 쉽지만, 이중진자 등 현상이 복잡해지면 이 심플함이 덫이 되는 경우가 종종 있습니다. 해석역학에서 배우는 것은 소박한 뉴턴의 방정식을 보다 고도의 문제에 대처할 수 있도록 역학 현상을 새로운 시점으로 재조명하는 것입니다. 여기에서는 뉴턴의 역학 법칙의 범위를 넓혀 일반화, 체계화하는 분야인 해석역학에 대해 알아봅니다.

제8장 벡터공간
벡터를 추상화하여 다차원 공간을 생각하면 벡터 공간이 보이게 됩니다. 벡터 공간에서는 내적이 중심적인 역할을 하고 있는데, 대표적인 예로서 내적은 일반 상대성 이론을 통해 친숙한 리만 공간에서 가장 중요한 계량이라는 개념의 기초가 되고 있습니다. 이 장에서 학습하는 내용은 고등학교 때 애매하게만 느껴졌던 내적이 얼마나 찬란하게 빛나는 것인지 실감하는 계기가 될 것입니다.

제9장 푸리에 급수와 푸리에 변환
원래 파형의 분석에서 시작된 연구인 푸리에 급수는 직교 함수계의 새싹이 되었습니다. 여기에서는 푸리에의 가장 큰 업적이라고 할 수 있는 푸리에 급수와 푸리에 변환에 대해 알아봅니다.

제10장 맥스웰-볼츠만 분포
이 장은 물리수학의 기초 응용편으로 고전역학과 양자역학 모두에서 중요한 맥스웰-볼츠만 분포를 예로 들어 설명합니다. 물리적 개념과 그에 따른 수학적 테크닉을 배우는 데 상당히 좋은 재료가 되므로 총정리하는 의미에서 책의 마지막 부분에 실어 놓았습니다. 실제 수학이 물리에 어떻게 적용되는지를 생각해 보는 계기가 될 것입니다.